镶嵌片数之比都符合黄金比例。各种铺陈方式以不可数的无限多种非周期性方式膨胀、收缩以及铺陈这个平面。这种非周期性可以通过四凸或者某种着色方式来强制实现，例如彭罗斯提出的一种着色方式，在这幅插图中用浅灰色和深灰色区域表示。
通过仔细观察图115中的这个五角星形，我们可以看到这两组镶嵌片是如何紧密地彼此联系在一起，又是如何与黄金比例密切相关。这是古希腊毕达哥拉斯学派的神秘符号，而歌德的浮士德也是用这张图抽获梅菲斯托费勒斯的。这一构造过程可以向内和向外，永远持续下去，并且每条线段都与下一条较短的线段构成黄金比例。请注意所有四种彭罗斯镶嵌片是如何嵌入这幅图中的。风筝是abcd，而飞镖是aecb。图中的两个菱形是aecd和abcf，尽管它们不符合恰当的相对大小关系，不过正如康韦喜欢说的那样，这两组镶嵌片是基于同一种潜在的“黄金材料”。任何关于风筝和飞镖的定理，都可以被转化成一条关于彭罗斯菱形或者任何一对其他彭罗斯镶嵌片的定理，反之亦然。康韦更喜欢研究飞镖和风筝，不过其他数学家们却更喜欢研究比较简单的菱形。安曼（robertammann）发现了令人眼花缭乱的各种其他非周期性铺陈集合。有一组集合由两个凸五边形和一个凸六边形构成，它在不需要任何边缘标记的情况下强制产生非周期性。他发现了好几对这样的组合，每一对都有一个五只内角为90度、一只内角为270度的六边形。
是否存在某些与黄金比例无关的、强制实现非周期性的成对镶嵌片？是否存在一对相似的镶嵌片强制实现非周期性？是否存在不需要边缘标记而将强制实现非周期性的一对凸镶嵌片？
当然，主要的未解问题是，是否存在一种只能非周期性铺陈平面的单一形状？大多数专家都认为不存在，不过大家都远不能给出证明。我们甚至还没能证明，如果有这样一种镶嵌片存在的话，那么它必定是非凸的。