若任何全序的子集都有上界，则此偏序集内必然存在极大元。数字有大小，集合的大小也就是这样了。按照偏序集来，真正序不太可能了。”
巴拿赫说：“主要原因是来源于非欧几何，我们为了让整个几何结构严谨，才在希尔伯特空间基础上加工出这样的结构来。”
泛函分析目前包括以下分支：
软分析，其目标是将数学分析用拓扑群、拓扑环和拓扑向量空间的语言表述。
巴拿赫空间的几何结构，以jeanbourgain的一系列工作为代表。
非交换几何，此方向的主要贡献者包括alainconnes，其部分工作是以georgemackey的遍历论中的结果为基础的。
与量子力学相关的理论，狭义上被称为数学物理，从更广义的角度来看，如按照israelgelfand所述，其包含表示论的大部分类型的问题。