在泛函分析中，巴拿赫定理是一个极为重要的工具。它允许了定义在某个向量空间上的有界线性算子扩张到整个空间，并说明了存在“足够”的连续线性泛函，定义在每一个赋范向量空间，使对偶空间的研究变得有趣味。
这个定理以汉斯·哈恩和斯特凡·巴拿赫命名，他们在1920年独立证明了这个定理。
巴拿赫不仅自己在科学上作出了巨大贡献，而且培育了一大批青年数学家，为形成强大的利沃夫泛函分析学派奠定了基础
他培养青年的方式中有一种很特别，这就是“咖啡馆聚会”当年利沃夫学派的一个年青学者s乌拉姆(后来去美国定居，在二次大战中参与原子弹的研制)，曾写过一篇文章，题为“回忆苏格兰咖啡馆”，其中写道：“巴拿赫一天生活中有相当多的时间消磨在咖啡馆，当有同事和年轻同行围坐时，他可以滔滔不绝地讲上