至不知道为什么几何对象之间会存在关系……”
老师们听得面面相觑，不知道黎曼讲了什么，只有高斯略有所思。高斯想起了自己被校领导刁难的样子，从黎曼身上看到自己的影子。
“……我认为，几何对象应该是一些多度延展的量，体现出各种可能的度量性质。而我们生活的空间只是一个特殊的三度延展的量，因此欧几里德的公理只能从经验导出，而不是几何对象基本定义的推论。欧氏几何的公理和定理根本就只是假设而已。但是，我们可以考察这些定理成立的可能性，然后再试图把它们推广到我们日常观察的范围之外的几何。……”
老师们有点想打断这个演讲，但是没好意思让他停止。高斯沉浸在扭结问题问题中，这是一个研究如何判断绳子是否打结的课题，即当两段闭合的绳子缠绕在一起时，如何只通过观察，就判断绳子间是否产生扭结的问题。除了判断绳子是否打结以外，还有研究如何给扭结分类的问题。
“……我认为应该有一个n维流形的概念，即流形的局部与n维欧氏空间的局部具有相同的拓扑性质，并阐述了关于延展性、维数、以及将延展性数量化的想法。……”
老师们听完了黎曼的讲解后，表示纷纷听不懂。
而高斯则说：“太棒了，几何应该变革了，以前的几何学无法再满足当下的要求了。”
整个过程中，他特别指出了日常生活中不适用欧几里得规则的例子，比如球面。在球面上所有经线都与赤道相交呈90°，因此这些经线会彼此平行，却在极点相交。
就这样，一个小时的《论作为几何基础的假设》演讲成为了数学史上发表的内容最丰富的长篇论文，而且在表述方面也堪称典范，勾勒出一个截然不同的几何世界（超越了欧几里得的几何世界）。
这次的演讲不但发扬了高斯关于曲面的微分几何研究，建立了黎曼空间的概念，还开创了黎曼几何，为爱因斯坦的广义相对论提供了数学基础。因此高斯兴奋不已，顺利让黎曼获得了讲师职位。
在黎曼之后，庞加莱继续研究黎曼留下来的n维流形，他创立了用剖分来研究流形的基本方法，同时引进了许多不变量：基本群、同调、贝蒂数、挠系数。不过最著名的，还是他在研究三维流形时留下的“庞加莱猜想”。