黎曼成功毕业了，但还是个困难户。为了谋生，他希望能成为讲师，黎曼申请了无薪讲师，是指学校不提供固定的薪酬，收入完全来自于听课学生所缴纳的学费的讲师。而想要成为讲师，不但要提交论文，还得给学院的教授做一个资格演讲。于是在1853年，黎曼提交了一份求职论文。
论文中推广了保证博里叶展开式成立的狄利克莱条件，即关于三角级数收敛的黎曼条件，研究出三角级数收敛的准则，并定义了黎曼积分，对完善分析理论产生深远的影响。
当时的资格演讲是有一套固定模式和传统的，申请者须向系主任提交三个演讲题目，但通常只准备前两个题目。作为选题目的系主任会为了不为难申请者，一般只选前两个题目中的一个。
如此看来，黎曼其实能够轻易就通过演讲的，只是他遗忘了一点，那就是当时的系主任是高斯，而高斯压根不知道这个规矩，然后黎曼悲剧了。
黎曼申请讲师需要就职演讲，演讲的审核人都是数学家的专家人物，其中也有高斯。
黎曼准备够几个题目让审核人挑选其中之一，让黎曼讲解被挑选的题目。
这些题目都是前沿的数学，是考察讲师的水平的。
高斯对黎曼给出的几个题目进行选择，高斯选择了一个比较奇怪的题目《关于几何学的基本假设》。高斯选这个题目是想看看黎曼跟自己的认识观是否相同。高斯最近在思考环绕数的概念，这是描述三维空间中两条闭曲线环绕的一个数值不变量。直观上，环绕数表示每一条曲线缠绕另一条曲线的次数。环绕数总是整数，但有可能取正数或负数，取决于这两条曲线的定向。
黎曼先是惊了一下，这是黎曼为了凑够数目的一个题目，自己没有打算要讲，却被高斯抽中，而且自己只有一个星期的准备时间了。
没办法，黎曼只能赶紧准备，然后硬着头皮上。
黎曼有些后悔，觉得这次的无薪讲师申请不上，恐怕自己以后没有任何可以糊口的工作了。毕竟搞数学只能在大学里，社会上哪里用得着？看来高斯有点针对自己。
黎曼开始就职演说，讲《关于几何学的基本假设》。
“……几何学的对象缺乏先验的定义，欧几里德的公理只是假设了未定义的几何对象之间的关系，而我们却不知道这些关系怎么来的，甚