1875年，亨利·约翰·斯蒂芬·史密斯发现了一个诡异的东西。
是位于一条线段上的一些点的集合，具有许多显著和深刻的性质。
后来1883年，又有康托尔开始对这个问题感兴趣。
史密斯说：“对于线上的点，我总觉里面有很多玄机，上面有很多深刻的道理。不能弄过去的数学去衡量。”
康托尔说：“我也有同感，而且我还有一个不错的模型。”
史密斯说：“说说看。”
康托尔说：“我发现一个三分点集。取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下两段，再将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段，……，将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，记为p。”
史密斯说：“这是一个无处稠密的完备集的例子。”
康托尔说：“其中有很多有趣的性质。”
史密斯说：“听你说的这个三分集，无穷多个点，所有的点处于非均匀分布状态。此点集具有自相似性，其局部与整体是相似的，所以是一个分形系统。”
康托尔说：“除了有自相似性，还有精细结构。”
史密斯说：“是无穷操作或迭代过程。”
康托尔说：“他让传统几何学陷入危机。用传统的几何学术语难以描述，它既不满足某些简单条件如点的轨迹，也不是任何简单方程的解集。其局部也同样难于描述。因为每一点附近都有大量被各种不同间隔分开的其它点存在。”
史密斯说：“没错这是长度为零的。真是一个集简单与复杂的统一的结构。”
康托尔集很庞大，但它当中几乎不含有任何“内容