开普勒说：“我发现了第二定律，但我想知道椭圆的弧长如何更方便的去求。”
1718年左右，数学家找到了一种特殊的积分方程，有k和t这样的参数。
“双扭线的弧长，单摆的周期、弹性细棒弯曲也出现了这样的积分方程。统称为椭圆积分。”
1751年，意大利数学家法纳诺：“我发现双扭线积分倍弧长公式。”
欧拉说：“我得到了椭圆积分加法定理。”
勒让德说：“我开始继续研究椭圆积分。可以转化成三种类型。得到基本性质，引进全椭圆积分。”
高斯说：“我研究的是一类特殊椭圆函数。其实是双扭线的那一种。同时与三角函数进行类比。其中双扭线的一些性质，对椭圆曲线可以有指导作用。”
1828年，阿贝尔开始了他曾经研究过的问题，椭圆形长度和面积的问题。
椭圆形的长度和面积是一个难题，数学大师勒让德对这个难题研究多年，但没有明晰的答案。
椭圆形长度有三个带积分方程的解法，每个解法都有优点，也有自己的毛病，所以阿贝尔想找一个更加合适的去解决这个问题。
勒让德知道表示椭圆长度的方程不能用